Question

如图所示，在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=2

34

．F是线段PB上一点，CF=

15

17

34

，点E在线段AB上，且EF⊥PB．
（1）证明：PB⊥平面CEF；
（2）求二面角B-CE-F的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意得EF⊥PB，可根据S_△PBC面积的两种表示形式得出CF⊥PB，从而可证得结论．
（2）在平面PAB内，过F作FF₁垂直AB交AB于F1，则FF₁⊥平面ABC，根据tan∠FEB=cot∠PBA可求得二面角B-CE-F的大小．

解答：（1）证明：∵PA²+AC²=36+64=100=PC²，
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证：△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．
故PA⊥平面ABC．
又∵S_△PBC=

1

2

|AC||BC|=

1

2

×10×6=30．
而

1

2

|PB||CF|=

1

2

×2

34

×

15

17

34

=30=S_△PBC．
故CF⊥PB，又已知EF⊥PB，
∴PB⊥平面CEF．
（2）由（1）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC，
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE，
在平面PAB内，过F作FF₁垂直AB交AB于F1，则FF₁⊥平面ABC，

EF₁是EF在平面ABC上的射影，
∴EF⊥EC．
故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角，tan∠FEB=cot∠PBA=

AB

AP

=

10

6

=

5

3

，
二面角B-CE-F的大小为arctan

5

3

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定及二面角的知识，有一定难度，关键是掌握二面角的求法及直线垂直平面的判定方法．