Question

设x、y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)充分性：如果xy＝0，不妨设x＝0，于是|x＋y|＝|y|＝|x|＋|y|；如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，|x＋y|＝x＋y＝|x|＋|y|，当x＜0，y＜0时，|x＋y|＝－(x＋y)＝(－x)＋(－y)＝|x|＋|y|，故xy≥0时，有|x＋y|＝|x|＋|y|． 　　(2)必要性：由|x＋y|＝|x|＋|y|，且x、y∈R，得(x＋y)2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2，∴|xy|＝xy．∴xy≥0．

提示：

充分性是证xy≥0|x＋y|＝|x|＋|y|；必要性是证|x＋y|＝|x|＋|y|xy≥0．