Question

1．（1）试用比较法证明柯西不等式：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²（m，n，a，b∈R）
（2）已知x²+y²=2，且|x|≠|y|，求$\frac{1}{{9{x^2}}}+\frac{9}{y^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用作差法，即可证明；
（2）由柯西不等式得：（x²+y²）（$\frac{1}{{9{x^2}}}+\frac{9}{y^2}$）≥$（\frac{1}{3}+3）^{2}$，即可求得结论．

解答 （1）证明：左边=a²x²+a²y²+b²x²+b²y²，右边=a²x²+2abxy+b²y²，
左边-右边=a²y²+b²x²-2abxy=（ay-bx）²≥0，…（2分）
∴左边≥右边，命题得证．…（3分）
（2）解：∵x²+y²=2，∴由柯西不等式得：（x²+y²）（$\frac{1}{{9{x^2}}}+\frac{9}{y^2}$）≥$（\frac{1}{3}+3）^{2}$，…（5分）
∴$\frac{1}{{9{x^2}}}+\frac{9}{y^2}$的最小值为$\frac{50}{9}$．…（7分）

点评 本题考查柯西不等式，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．