Question

【题目】如图，在四棱锥 中，平面，底面为菱形，且，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据菱形基本性质得BC⊥AE，再由线面垂直得BC⊥AP，故BC⊥平面PAE；

（2）以P为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BAP与平面CDP的法向量计算即可.

（1）连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，

因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC平面PBC，

所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE平面PAE，所以BC⊥平面PAE；

（2）因为AP⊥平面PBC，PB平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，PA＝1，所以PB＝，

由（1）得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC＝，EC＝1，所以PE＝，

如图，过点P作BC的平行线PQ，则PQ，PE，PA两两互相垂直，

以P为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则P（0，0，0），A（0，0，1），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，1），

设平面BAP的一个法向量＝（x，y，z），又＝（0，0，1），＝（，﹣1，0），

由，得x﹣y＝0，z＝0，令x＝1，则＝（1，，0），

设平面CDP的一个法向＝（a，b，c），又＝（，1，0），＝（0，2，1），

由，得a+b＝0，2y+z＝0，令a＝1，则＝（1，﹣，2），

所以，即平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为．