Question

四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.

         （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；

         （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析

解析:

（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积为从而只要算出四棱锥的高就行了.

面ABCD,

         ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，

    ∴PA⊥DA，

    ∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，

      ∠PAB=60°.                

      而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=a,

     .   

（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.

      作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，

           是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.

          设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

              

      在

     故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.