Question

在抛物线y=x²+ax-5(a≠0)上取横坐标为x₁=-4,x₂=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x²+5y²=36相切,则抛物线顶点的坐标为(　　)

A．(-2,-9)	B．(0,-5)
C．(2,-9)	D．(1,-6)

Answer 1

A

当x₁=-4时,y₁=11-4a;当x₂=2时,y₂=2a-1,所以割线的斜率k==a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为x₀,由y′=2x+a得切线斜率为2x₀+a,∴2x₀+a=a-2,∴x₀=-1.
∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1),
即(a-2)x-y-6=0.
圆5x²+5y²=36的圆心到切线的距离d=.由题意得=,即(a-2)²+1=5.
又a≠0,∴a=4,此时y=x²+4x-5=(x+2)²-9,顶点坐标为(-2,-9).故选A.