Question

5．求下列函数的单调区间：
（1）f（x）=3x²-2lnx
（2）y=x³+ax（a∈R）

Answer 1

分析 求函数的定义域和导数，利用导数研究函数的单调性，即可得到函数的单调区间．

解答 解：（1）f（x）=3x²-2lnx的定义域为（0，+∞），
则函数的导数f′（x）=6x-$\frac{2}{x}$=$\frac{6{x}^{2}-2}{x}$，
由f′（x）＞0得6x²-2＞0，即x²＞$\frac{1}{3}$，则x＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$或x＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍），即函数的单调递增区间为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞），
由f′（x）＜0得6x²-2＜0，即x²＜$\frac{1}{3}$，则-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∵x＞0，∴0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$即函数的单调递减区间为（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
（2）y=x³+ax（a∈R）的导数为y′=3x²+a，
若a≥0，则y′≥0恒成立，此时函数单调递增，即函数的单调递增区间为（-∞，+∞），
若a＜0，则有由y′＞0得x²＞-$\frac{a}{3}$，则x＞$\sqrt{-\frac{a}{3}}$或x＜-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，即函数的单调递增区间为（$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，+∞），（-∞，-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）
由y′＜0得x²＜-$\frac{a}{3}$，则-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$＜x＜$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，即函数的单调递减区间为（-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）．

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．