Question

20．已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧$\widehat{AC}$上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求△ABC外接圆的面积．

Answer 1

分析 （1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．
（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．

解答 （1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，A?B?C?D四点共圆．
∴∠CDF=∠ABC，
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF
对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE，…（4分）
（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，交⊙O于点M，连接OC，
∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AH⊥BC．
∴∠OAC=∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
设圆半径为r，
则OH=OC•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∵△ABC中BC边上的高为1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AH=OA+OH=r+$\frac{\sqrt{3}}{2}$r=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：r=1，
∴△ABC的外接圆的面积为：π（10分）

点评 此题主要考查圆内接多边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的外接圆的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．