Question

15．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 作出辅助线BM、AM、FH，把求∠HAF的度数等价转化为求其全等三角形的对应角∠MAF的度数．

解答 解：如图，连结FH，延长CB到M，使BM=DH，连结AM，
∵Rt△ABM≌Rt△ADH，∴AM=AH，∠MAB=∠HAD，
∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°，
如图，设正方形ABCD边长为a，AG=m，GP=n，则FC=a-n，CH=a-m，
∵矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍，
∴a²-（m+n）a+mn=2mn，①
在Rt△FCH中，FH²=（a-n）²+（a-m）²，②
联立①②，得FH²=MF²=（m+n）²，∴FH=MF．
∵AF=AF，AH=AM，∴△AMF≌△HAF，
∴∠HAF=∠MAF=45°．

点评 本题考查满足条件的角的大小的确定并证明，是中档题，解题时要注意全等三角形的判定定理的合理运用，构建全等三角形并进行证明是解题的关键．