Question

1．定义在R上的函数 y=f（x） 对任意的x，y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x）+f（y）-2，且当x＞0时，f（x）＞2
（1）求f（0）的值；
（2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数；
（3）解不等式f（2t²-t-3）-2＜0．

Answer 1

分析 （1）由题意 y=f（x） 对任意的x，y∈R，关系式成立，采用赋值法，可得f（0）的值；
（2）利用定义证明其单调性．
（3）利用单调性及f（0）的值，求解不等式即可．

解答 解：由题意：函数 y=f（x）定义在R上 对任意的x，y∈R满足条件：f（x+y）=f（x）+f（y）-2，
∴令x=y0，
由f（x+y）=f（x）+f（y）-2，
可得：f（0）=f（0）+f（0）-2，
解得：f（0）=2．
故f（0）的值为：2．
（2）证明：设x₁＜x₂，x₁、x₂∈R，
则x₂-x₁＞0，
由（1）可得f（x₂-x₁）＞2．
因为对任意实数任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2，
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＞f（x₁）
所以函数f（x）是R上的单调增函数．
（3）解：由（1）（2）可知函数f（x）是R上的单调增函数．且f（0）=2；
不等式f（2t²-t-3）-2＜0，变形得f（2t²-t-3）＜2，转化为f（2t²-t-3）＜f（0）．
故得：2t²-t-3＜0
解得：$-1＜t＜\frac{3}{2}$，
所以原不等式的解集是（-1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了抽象函数的运用能力和化简，单调性的证明．属于中档题．