Question

11．函数f（x）=-x²+（3-2m）x+2+m（0＜m≤1）．
（Ⅰ）若x∈[0，m]，证明：f（x）≤$\frac{10}{3}$；
（Ⅱ）求|f（x）|在[-1，1]上的最大值g（m）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，由m的范围分类可得二次函数在[0，m]上的单调性，得到二次函数的最大值，由配方法证明f（x）≤$\frac{10}{3}$；
（Ⅱ）分0$＜m≤\frac{1}{2}$和$\frac{1}{2}$＜m≤1两种情况求出函数f（x）在[-1，1]上的最值，再由最值的绝对值的大小求得|f（x）|在[-1，1]上的最大值g（m）．

解答 （Ⅰ）证明：∵0＜m≤1，∴f（x）的对称轴x=$\frac{3-2m}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
①0＜m≤$\frac{1}{2}$时，函数f（x）=-x²+（3-2m）x+2+m开口向下，在[0，m）函数是增函数，
∴f（x）≤f（m）=-m²+（3-2m）m+2+m=-3m²+4m+2=-3$（m-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{10}{3}$$≤\frac{10}{3}$；
②当$\frac{1}{2}＜m≤1$时，f（x）_max=f（$\frac{3-2m}{2}$）=$\frac{-4（2+m）-（3-2m）^{2}}{-4}$=$\frac{4（m-1）^{2}+13}{4}$＜$\frac{13}{4}$$＜\frac{10}{3}$．
综上，f（x）≤$\frac{10}{3}$；
（Ⅱ）函数f（x）=-x²+（3-2m）x+2+m=-（x-$\frac{3-2m}{2}$）²+$\frac{4{m}^{2}-8m+17}{4}$，
若0$＜m≤\frac{1}{2}$，则0＜2m≤1，f（x）的对称轴x=$\frac{3-2m}{2}$∈[1，$\frac{3}{2}$），
则f（x）在[-1，1]上为增函数，
∵f（1）=4-m∈[$\frac{7}{2}，4$），|f（-1）|=|3m-2|∈[$\frac{1}{2}$，2）．
∴|f（1）|＞|f（-1）|，
∴|f（x）|在[-1，1]上的最大值g（m）=f（1）=4-m；
若$\frac{1}{2}$＜m≤1，则1＜2m≤2，f（x）的对称轴x=$\frac{3-2m}{2}$∈（$\frac{1}{2}$，1]，
则f（x）在[-1，1]上先增后减，且最小值为f（-1）=3m-2，最大值为f（$\frac{3-2m}{2}$）=m²-2m+$\frac{17}{4}$．
∵|f（-1）|=|3m-2|∈[0，1]，f（$\frac{3-2m}{2}$）=m²-2m+$\frac{17}{4}$=$（m-1）^{2}+\frac{13}{4}≥\frac{13}{4}$．
∴|f（x）|在[-1，1]上的最大值g（m）=f（$\frac{3-2m}{2}$）=m²-2m+$\frac{17}{4}$．
综上，g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{4-m，0＜m≤\frac{1}{2}}\\{{m}^{2}-2m+\frac{17}{4}，\frac{1}{2}＜m≤1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，正确的分类是解答该题的关键，是中档题．