Question

6．已知二次函数f（x）满足f（1）=1，且f（x+1）-f（x）=4x-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题条件，利用待定系数法设出函数解析式的一般形式，代入利用恒等式知识可求；（2）由二次函数图象特点，函数在区间上不单调，应有其图象对称轴在区间内，构造不等式，解不等式即可．

解答 解：（1）由已知可设f（x）=ax²+bx+c，
∴f（1）=a+b+c=1①，
又f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=4x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{a+b=-2}\end{array}\right.$，解得：a=2，b=-4，
代入①式得c=3，
∴函数解析式为：f（x）=2x²-4x+3；
（2）由（1）可知，函数图象开口向上，对称轴为x=1，要使函数不单调，则2a＜1＜a+1，则$0＜a＜\frac{1}{2}$．
即a的范围是：$（0，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查用待定系数法求函数解析式以及二次函数的单调性问题，属于基础题．