Question

14．若不等式x²+2+|x³-2x|≥ax对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围（　　）

• A． a≤4
• B． a≤5
• C． a≤2$\sqrt{2}$
• D． a≤1

Answer 1

分析 分离参数a，把不等式变形为a≤x+$\frac{2}{x}$+|x²-2x|，只需a小于等于a≤x+$\frac{2}{x}$+|x²-2x|的最小值即可

解答 解：由x²+2+|x³-2x²|≥ax在x∈[1，2]内恒成立，
∴a≤x+$\frac{2}{x}$+|x²-2x|，
而x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\sqrt{2}$∈[1，2]时取等号，
且|x²-2x|≥0，等号当且仅当x=2∈[1，2]时成立；
∴x+$\frac{2}{x}$+|x²-2x||的最小值为2$\sqrt{2}$，等号当且仅当x=$\sqrt{2}$∈[1，2]时成立．
故实数a的取值范围是（-∞，2$\sqrt{2}$]．
故选：C

点评 本题主要考查了函数恒成立问题以及绝对值不等式的解法、基本不等式在最值问题中的应用，本题中要注意等号须同时成立．