Question

设P表示幂函数在（0，+∞）上是增函数的c的集合；Q表示不等式|x-1|+|x-4|≥c对任意x∈R恒成立的c的集合．
（1）求P∪Q；
（2）试写出一个解集为P∪Q的不等式．

Answer 1

解：（1）∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，
∴c²-6c+8＞0，即P=（-∞，2）∪（4，+∞），
又不等式|x-1|+|x-4|≥c对任意x∈R恒成立，∴c≤3，即Q=（-∞，3]，
∴P∪Q=（-∞，3]∪（4，+∞）．
（2）一个解集为P∪Q的不等式可以是．（答案不唯一）
分析：（1）根据幂函数的性质得到幂函数为增函数时，指数大于0，求出解集即可得到P；因为不等式|x-1|+|x-4|≥c对任意x∈R恒成立，即只需找到不等式|x-1|+|x-4的最小值即可求出c的范围得到Q，然后求出P∪Q；
（2）根据（1）求出的P∪Q，可以举例为解集为P∪Q的不等式．
点评：考查学生掌握幂函数的增减性，理解函数恒成立时所取的条件，以及会求集合并集的运算．本题第二问是开放性题目，答案不唯一，考查学生发散思维的能力．