Question

设P表示幂函数在（0，+∞）上是增函数的c的集合；Q表示不等式|x-1|+|x-2c|＞1对任意x∈R恒成立的c的集合．
（1）求P∩Q；
（2）试写出一个解集为P∩Q的不等式．

Answer 1

解：（1）∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，∴c²-5c+6＞0，即P=（-∞，2）∪（3，+∞），
又不等式|x-1|+|x-2c|＞1对任意x∈R恒成立，∴|2c-1|＞1，即Q=（-∞，0）∪（1，+∞），
∴P∩Q=（-∞，0）∪（1，2）∪（3，+∞）．
（2）一个解集为P∩Q的不等式可以是 x（x-1）（x-2）（x-3）＞0．
分析：（1）根据幂函数的性质得到幂函数为增函数时，指数大于0，求出解集即可得到P；因为不等式|x-1|+|x-2c|＞1对任意x∈R恒成立，即只需找到不等式|x-1|+|x-2c|的最小值即可求出c的范围得到Q，然后求出P∩Q；
（2）根据（1）求出的P∩Q，可以举例为解集为P∩Q的一个不等式即可．
点评：考查学生掌握幂函数的增减性，理解函数恒成立时所取的条件，以及会求集合并集的运算．本题第二问是开放性题目，答案不唯一，考查学生发散思维的能力．