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(09年东城区二模理)(13分)

如图,为双曲线的右焦点,

为双曲线右支上一点,且位于轴上方,为左准线上一点,为坐标原点.已知四边形为菱形.

(Ⅰ)求双曲线的离心率

(Ⅱ)若经过焦点且平行于的直线交双曲线于两点,且,求此时的双曲线方程. 

解析: (Ⅰ)由于四边形是菱形,故,

作双曲线的右准线交于点,

.        …………3分

所以离心率

;

整理得.解得(舍).

故所求双曲线的离心率为2 .             …………5分

(Ⅱ) 由,双曲线方程为.                   

的横坐标为,由于四边形是菱形,即,

.将其代入双曲线方程得,解得.

.               ………………7分

.故直线的方程为.     …………8分

将直线的方程代入到双曲线方程中得.             …………10分

,

解得.则.

      所求双曲线方程为.                 ……………13分
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对于给定的定义域中的,令,…,,…

在上述构造过程中,如果=1,2,3,…)在定义域中,那么构造数列的过程继续下去;如果不在定义域中,那么构造数列的过程就停止.

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