Question

（本小题满分15分）已知函数，,．

??????（Ⅰ） 求函数的极大值点与极小值点；??（Ⅱ） 若函数在上有零点，求的最大值（ 为自然对数的底数）；??????（Ⅲ） 设（），试问数列中是否存在相等的两项？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 为的极大值点，  为 的极小值点   (Ⅱ) -2（Ⅲ）

解析:

：（1）由题知：的定义域为（0,+∞）

∵

∴函数的单调递增区间为　,的单调递减区间为，

所以为的极大值点，  为 的极小值点．

（2）∵在∈上的最小值为

且=

∴在∈上没有零点，

∴函数在上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只须且即可，易验证

，当≤-2且∈Z时均有，所以函数在上有零点，

即函数在上有零点,∴的最大值为-2．

（3）利用导数易证，当时, 所以．  因为，所以

令，得：，结合得：

因此，当时，有，

所以当时，，即：，

又通过比较、、、的大小知：，

因为，且时，所以若数列中存在相等的两项，只能是、与后面的项可能相等，又，，所以数列中存在唯一相等的两项，

即：．