Question

已知两变量x，y之间的关系为lg（y-x）=lgy-lgx，则以x的自变量的函数y的最小值为

4

．

Answer 1

分析：由lg（y-x）=lgy-lgx，可得

y-x＞0 x＞0 y-x= y x

，可整理得：y=x-1+

1

x-1

+2，由基本不等式即可求得函数y的最小值．

解答：解：∵lg（y-x）=lgy-lgx，
∴

y-x＞0 x＞0 y-x= y x

，
∴（x-1）y=x²，显然x≠1，y=

x2

x-1

＞0，故x＞1．
∴y=

x2

x-1

=

[(x-1)+1]2

x-1

=x-1+

1

x-1

+2≥4（当且仅当x-1=

1

x-1

，即x=2时取“=”），
∴y≥4．
故答案为：4．

点评：本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数运算法则的灵活运用及基本不等式的灵活应用，属于中档题．