Question

已知向量

m

=(sinωx，cosωx)，

n

=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=

m

•

n

且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移

1

2

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，

3π

4

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由数量积的运算和三角函数的公式可得f（x）=

2

2

sin（2ωx+

π

4

）+

1

2

，由周期可得ω=1，可得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，把2x+

π

4

整体放在正弦函数的单调递增区间，解不等式可得；（2）由图象变换的知识可得g（x）=

2

2

sin（x+

π

4

），由x的取值范围结合三角函数的运算可得答案．

解答：解：（1）由题意可得f(x)=

m

•

n

=sinωxcosωx+cos²ωx
=

1

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=

2

2

sin（2ωx+

π

4

）+

1

2

，
∵函数的周期T=π=

2π

2ω

，∴ω=1，
故f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
解得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z
故f（x）的单调递增区间是[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z…（6分）
（2）由题意可得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得函数y=

2

2

sin（x+

π

4

）+

1

2

的图象，再向下g（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）的图象，
故y=g（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）…（9分）
∵x∈[0，

3π

4

]，∴x+

π

4

∈[

π

4

．π]，∴sin(x+

π

4

)∈[0，1]…（11分）
∴

2

2

sin(x+

π

4

)∈[0，

2

2

]，即g（x）的取值范围为[0，

2

2

]．…（12分）

点评：本题考查平面向量数量积的运算，以及正弦函数的单调性和函数图象的变换，属中档题．