Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量

m

=(sin 

A

2

，cos 

A

2

)，

n

=(cos 

A

2

，-cos 

A

2

)，且2

m

•

n

+|

m

|=

2

2

，

AB

•

AC

=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，即可求角A的大小
（2）利用向量的数量积公式、三角形的面积公式，即可求△ABC的面积．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sin 

A

2

，cos 

A

2

)，

n

=(cos 

A

2

，-cos 

A

2

)，且2

m

•

n

+|

m

|=

2

2

，
∴2sin

A

2

cos

A

2

-2cos2

A

2

+1=

2

2

∴sinA-cosA=

2

2

∴sin（A-

π

4

）=

1

2

∴A=

5π

12

；
（2）∵

AB

•

AC

=1
∴|

AB

||

AC

|cosA=1
∴S=

1

2

|

AB

||

AC

|sinA=|

AB

||

AC

|cosA•

1

2

tanA=

1

2

tanA
∵A=

5π

12

∴

1

2

tanA=

1

2

•

1+ 3 3

1- 3 3

=

2+ 3

2

∴S=

2+ 3

2

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角形的面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．