Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c并且满足

b

a

=

sinB

cosA

．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示

2

sinB-cosC，并求它的最大值．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，求出tanA的值，根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）根据A的度数求出B+C的度数，用B表示出C，代入原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出最大值．

解答：解：（1）∵

b

a

=

sinB

sinA

，
∴利用正弦定理得：

sinB

sinA

=

sinB

cosA

，
又∵A∈（0，π），sinB≠0，
∴sinA=cosA，即tanA=1，
则A=45°；
（2）∵A=45°，
∴B+C=135°，C=135°-B，
∴

2

sinB-cosC
=

2

sinB-cos（135°-B）
=

2

sinB-cos135°cosB-sin135°sinB
=

2

sinB+

2

2

cosB-

2

2

sinB
=

2

2

sinB+

2

2

cosB=sin（B+45°），
∵0＜B＜135°，∴45°＜B+45°＜180°，
∴0＜sin（B+45°）≤1，
则

2

sinB-cosC的最大值是1．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．