Question

20．设f（x）=12sin（2x+φ），（φ是常数）．
（1）求证：当φ=$\frac{π}{2}$时，f（x）是偶函数；
（2）求使f（x）为偶函数的所有φ值的集合．

Answer 1

分析 （1）通过φ=$\frac{π}{2}$时，化简函数的解析式，利用函数的奇偶性的定义，判断f（x）是偶函数；
（2）利用偶函数的定义，化简方程，通过求解三角方程求解即可．

解答 （1）证明：当φ=$\frac{π}{2}$时，f（x）=12sin（2x+$\frac{π}{2}$）=12cos2x，f（-x）=f（x），f（x）是偶函数；
（2）解：由题意：f（-x）=f（x），
可得12sin（-2x+φ）=12sin（2x+φ）对一切实数x成立，
-2x+φ=2x+φ+2kπ，或-2x+φ=π-（2x+φ）+2kπ（ k∈Z）对一切实数x成立，
所以φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
f（x）为偶函数的φ值的集合是{φ|φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}．

点评 本题考查三角函数的简单性质的应用，三角方程的解法，考查计算能力．