Question

阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ…②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ…③
令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

代入③得sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

．
（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

；
（Ⅱ）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A-cos2B=1-cos2C，试判断△ABC的形状．（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过两角和与差的余弦公式，令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

，即可证明结果．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论和二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin²C，以及A+B+C=180°，推出B=90°，得到△ABC为直角三角形

解答：解：（I）根据两角和与差的余弦公式，有：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ…①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ…②
由①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ…③
令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

代入③得cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

．
（II）由（I）得cos2A-cos2B=-2sin（A+B）sin（A-B）=-2sinCsin（A-B）．
1-cos2C=2sin²C
由sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

．
∴-2sinCsin（A-B）=2sin²C．
即2sinC[sin（A-B）+sinC]=0
∵在△ABC中sinC≠0，故sin（A-B）+sinC=0
即A-B=-C
故A+C=B
∴B=90°
故所以△ABC为直角三角形

点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．