Question

如图所示，已知PD垂直以AB为直径的圆O所在平面，点D在线段AB上，点C为圆O上一点，且BD=PD=3，AC=2AD=2．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直⇒线面垂直，再由线面垂直⇒线线垂直；
（2）通过作出二面角的平面角，证明符合定义，再在三角形中求解．

解答： 解：（1）证明：连接OC，由BD=PD=3，AC=2AD=2，
点D为AO的中点，
又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，
∵BD=PD=3，AC=2AD=2，∴∠CAB=60°，
∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD⊥CD，PD∩AO=D，
∴CD⊥平面PAB，PA?平面PAB，
∴PA⊥CD．
（2）过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，
由（1）知CD⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，
∴PB⊥平面CDE，又CE?平面CDE，
∴CE⊥PB，
∴∠DEC为二面角C-PB-A的平面角．
由（1）可知CD=

3

，PD=BD=3，
∴PB=3

2

，则DE=

PD×BD

PB

=

3 2

2

，
∴在Rt△CDE中，tan∠DEC=

CD

DE

=

6

3

，
∴cos∠DEC=

15

5

，即二面角C-PB-A的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查线线垂直的判定、二面角的平面角及求法．二面角的求法：几何法：作角（根据定义作二面角的平面角）--证角（符合定义）--求角（解三角形）；