Question

（2011•晋中三模）设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若?x∈R，f(x)≥t2-

11

2

t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|-|x-2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，
（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若?x∈R，f(x)≥t2-

11

2

t恒成立，只须f(x) min≥t2-

11

2

t即可，求出实数t的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

-x-3，x＜- 1 2 3x-1，- 1 2 ≤x＜2 x+3，x≥2

当x＜-

1

2

，-x-3＞2，x＜-5，∴x＜-5
当-

1

2

≤x＜2，3x-1＞2，x＞1，∴1＜x＜2
当x≥2，x+3＞2，x＞-1，∴x≥2
综上所述 {x|x＞1或x＜-5}．----------------------（5分）
（2）由（1）得f(x)min=-

5

2

，若?x∈R，f(x)≥t2-

11

2

t恒成立，
则只需f(x)min=-

5

2

≥t2-

11

2

t?2t2-11t+5≤0?

1

2

≤t≤5，
综上所述

1

2

≤t≤5．------------------------------（10分）

点评：考查了绝对值的代数意义、一元二次不等式的应用、分段函数的解析式等基本，去绝对值体现了分类讨论的数学思想，属中档题．