Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若∠C=

2

3

π，a、b、c依次成等差数列，且公差为2．
（1）求c；
（2）如图，A′，B′分别在射线CA，CB上运动，设∠A′B′C=θ，试用θ表示线段B'C的长，并求其范围．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由等差数列的性质用c表示出a、b，并求出c的范围，由余弦定理和题意列出关于c的方程，再求出c的值；
（2）由内角和定理求出∠B′A′C，再求出θ的范围，由正弦定理求出B′C，由θ的范围和正弦函数的性质求出线段B′C的范围．

解答： 解：（1）因为a、b、c成等差，且公差为2，
所以a=c-4，b=c-2，则c＞4
又cos C=-

1

2

，所以由余弦定理得，

a2+b2-c2

2ab

=-

1

2

，
则

(c-4)2+(c-2)2-c2

2(c-4)(c-2)

=-

1

2

，
化简得c²-9c+14=0，解得c=7或c=2，
又c＞4，所以c=7，
（2）在△A′B′C中，∠B′A′C=

π

3

-θ，则0＜θ＜

π

3

，
由正弦定理得

A′C

sin∠A′B′C

=

B′C

sin∠B′A′C

=

A′B′

sin∠A′CB′

，
则

A′C

sinθ

=

B′C

sin( π 3 -θ)

=

7

sin 2π 3

，
所以B′C=

14 3

3

sin（

π

3

-θ），
由θ∈（0，

π

3

）得0＜

π

3

-θ＜

π

3

，则0＜sin （

π

3

-θ）＜

3

2

，
座椅0＜

14 3

3

sin（

π

3

-θ）＜7，
即线段B′C的范围为（0，7）．

点评：本题考查正弦、余弦定理，等差数列的性质，以及正弦函数的性质，属于中档题．