Question

6．四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，又底面ABCD为矩形，E是PD中点．
（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）若PB⊥AC，且PA=2，求三棱锥E-PBC的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BD交AC于O，连结EO，可证EO∥PB，即可证明PB∥平面EAC．
（2）做PF⊥底面ABCD，垂足为F，则F在AD上，连接BF交AC于M，利用等体积转换，即可求三棱锥E-PBC的体积．

解答 （1）证明：连结BD交AC于O，连结EO，
∵O、E分别为BD、PD的中点，
∴EO∥PB，E0?平面EAC，PB?平面EAC，
∴PB∥平面EAC；
（2）解：做PF⊥底面ABCD，垂足为F，则F在AD上，
∵PA=PD，
∴F为AD中点，
连接BF交AC于M，
∵PF⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴AC⊥PF，
∵AC⊥PB，PB∩PF=P，
∴AC⊥平面PBF，
∴AC⊥BF，
∵AD=PA=2，
∴AF=FD=1，BC=2，
∵△AMF∽△ADC，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{AF}{AC}$，
设AB=x，则$\frac{AM}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$，
∵AM$\sqrt{1+{x}^{2}}$=x，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴V_E-PBC=$\frac{1}{2}{V}_{D-PBC}$=$\frac{1}{4}{V}_{P-ABCD}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，体积的计算，考查了空间想象能力和推论论证能力，属于中档题．