Question

11．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积、体积．

Answer 1

分析 如图所示，由等边三角形的面积计算公式可得：△SAB的面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$．即可得出四面体S-ABC的表面积．设O为△ABC的中心，延长AO交BC于点D，连接SO，SD，则SO⊥底面ABC，D为BC的中点．可得$AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$a=SD，OD=$\frac{1}{3}AD$，AO=$\sqrt{S{D}^{2}-O{D}^{2}}$．利用V_S-ABC=$\frac{1}{3}•{S}_{△ABC}×SO$即可得出．

解答 解：如图所示，
由等边三角形的面积计算公式可得：△SAB的面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$．
∴四面体S-ABC的表面积为4×$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\sqrt{3}{a}^{2}$．
设O为△ABC的中心，延长AO交BC于点D，连接SO，SD，则SO⊥底面ABC，D为BC的中点．
∴$AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$a=SD，OD=$\frac{1}{3}AD$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
∴AO=$\sqrt{S{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．
∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}•{S}_{△ABC}×SO$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质及其面积计算公式、正三棱锥的性质、线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．