Question

16．已知M（2，0），N（0，-2），C为MN中点，点P满足CP=$\frac{1}{2}$MN．
（1）求点P构成曲线的方程．；
（2）是否存在过点（0，-1）的直线l与（1）所得曲线交于点A、B，且A、B在y轴上投影为D、E，使$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OE}$=1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题可知：点P在以MN为直径的圆上，可得点P构成曲线的方程；
（2）A、B在y轴上投影为D、E，使$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OE}$=1，建立方程，求出k，即可得出结论．

解答 解：（1）由题可知：点P在以MN为直径的圆上，
∴曲线C是圆心为MN中点C（1，-1），半径r=$\frac{1}{2}$MN=$\sqrt{2}$．
∴曲线C的方程：（x-1）²+（y+1）²=2，
（2）若直线l的斜率不存在，
分类讨论，利用∵直线l过点（0，-1），
∴直线l：x=0   此时A（0，0）B（0，-2）在y轴上投影即为本身，
∴与$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OE}$=1矛盾，
∴直线l的斜率存在，不妨设直线l：y=kx-1，
直线l与圆交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）满足，
与圆的方程联立，可得（1+k²）x²-2x-1=0，
由韦达定理可得：x₁+x₂=$\frac{2}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，
A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在y轴上投影D（0，y₁）、E（0，y₂），
∴1=$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OE}$═y₁y₂=（ k x₁-1）（ k x₂-1）=k²x₁x₂-k （x₁+x₂）+1，
=-$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$-$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$+1，即k²+2k=0∴k=0或-2，
∴直线l：y=-1 或 y=-2x-1 即：2x+y+1=0．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．