Question

已知a=(x,0),b=(1,y),(a+b)⊥(a-b).

(1)求点P(x,y)的轨迹方程;

(2)若直线l:y=kx+m(m≠0)与曲线C交于A、B两点,D(0,-1)且有||=||,试求实数m的取值范围.

Answer 1

思路分析:本题是解析几何与平面向量的一道综合题,仔细分析题意并联想到a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂).若a·b=0,则a⊥b即可得.

解:(1)由(a+b)⊥(a-b)得a²-3b²=0.

∴x²-3(1+y²)=0,即-y²=1.

∴点P(x,y)的轨迹方程为-y²=1.

(2)由(1-3k²)x²-6kmx-3m²-3=0.                                   ①

显然(1-3k²)≠0且Δ=(6km)²-4(1-3k²)(-3m²-3)=12(m²+1-3k²)＞0.          ②

设x₁、x₂为方程①的两根,则x₁+x₂=.

∴

∴AB中点M的坐标为().

∴线段AB的中垂线的方程为

y-=(-)(x-).

又∵||=||,

∴D(0,-1)是方程的解,代入即得4m=3k²-1,

代入②得12(m²-4m)＞0,

即得m＜0或m＞4.

又∵4m=3k²-1＞-1,

∴m＞-.

故-＜m＜0或m＞4.