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    如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0＜y1＜y2＜…＜yn，n∈N*)是曲线C：y2=3x(y≥0)上的n个点，点Ai(ai，0)(i=1，2，3，…，n)在x轴的正半轴上，△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)，
    (1)求a1，a2，a3；
    (2)求出点An(an，0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式；
    (3)设，若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-mt+＞bn恒成立，求实数t的取值范围。

    解：(1)a1=2，a2=6，a3=12；
    (2)依题意An(an，0)，，
    则，
    在正三角形中，有，
    ∴，
    ∴，
    ∴，①
    同理可得，②
    ②-①并变形得，
    ，
    ∴，
    ∴，
    ∴数列{an+1-an}是以a2-a1=4为首项，公差为2的等差数列，
    ∴，
    ∴
    ，
    ∴。
    (3)，
    ∴，
    ∴

    ，
    ∵当n∈N*时，上式恒为负值，
    ∴当n∈N*时，bn+1＜bn，
    ∴数列{bn}是递减数列，
    ∴bn的最大值为，
    若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，
    则不等式在m∈[-1，1]时恒成立，
    即不等式t2-2mt＞0在m∈[-1，1]时恒成立，
    设f(m)=t2-2mt，则f(1)＞0且f(-1)＞0，
    ∴，解之，得t＜-2或t＞2，
    即t的取值范围是(-∞，-2)∪(2，+∞)。

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．
    （Ⅰ）求出a1，a2，a3，并猜想an关于n的表达式（不需证明）；
    （Ⅱ）设bn=
    1
    an+1
    +
    1
    an+2
    +
    1
    an+3
    +…+
    1
    a2n
    ，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+
    1
    6
    ＞bn    恒成立，求实数t的取值范围．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn） 是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．
    （1）求a1、a2、a3的值；
    （2）求出点An（an，0）（n∈N+）的横坐标an和点An-1（an-1，0）（n＞0，n∈N+）横坐标an-1的关系式；
    （3）根据（1）的结论猜想an关于n的表达式，并用数学归纳法证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•闸北区二模）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是曲线C：y2=
    1
    2
    x(y≥0)    上的点，A1（a1，0），A2（a2，0），…，An（an，0），…是x轴正半轴上的点，且△A0A1P1，△A1A2P2，…，△An-1AnPn，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A0为坐标原点）．
    （1）写出an-1、an和xn之间的等量关系，以及an-1、an和yn之间的等量关系；
    （2）猜测并证明数列{an}的通项公式；
    （3）设bn=
    1
    an+1
    +
    1
    an+2
    +
    1
    an+3
    +…+
    1
    a2n
    ，集合B={b1，b2，b3，…，bn，…}，A={x|x2-2ax+a2-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求实常数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•闸北区二模）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是曲线C：y2=
    1
    2
    x(y≥0)    上的点，A1（a1，0），A2（a2，0），…，An（an，0），…是x轴正半轴上的点，且△A0A1P1，△A1A2P2，…，△An-1AnPn，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A0为坐标原点）．
    （1）写出an-1、an和xn之间的等量关系，以及an-1、an和yn之间的等量关系；
    （2）求证：an=
    n(n+1)
    2
    （n∈N*）；
    （3）设bn=
    1
    an+1
    +
    1
    an+2
    +
    1
    an+3
    +…+
    1
    a2n
    ，对所有n∈N*，bn＜log8t恒成立，求实数t的取值范围．

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