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已知函数处取得极值2 ,

(Ⅰ)求的解析式;

(Ⅱ)设A是曲线上除原点O外的任意一点,过OA的中点且垂直于轴的直线交曲线于点B,试问:是否存在这样的点A,使得曲线在点B处的切线与OA平行?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由;

(Ⅲ)设函数,若对于任意的,总存在,使得,求实数的取值范围。

(I)

 


.………2分

处取得极值2.

                                   ………………4分

(Ⅱ)由(I)得

假设存在满足条件的点A,且,则………………6分

………………8分

所以存在满足条件的点A,此时点A是坐标为……9分

(Ⅲ) ,令.

变化时,的变化情况如下表:

1

-

0

+

0

-

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

处取得极小值 ,在处取得极大值

时,的最小值为-2………………………11分

对于任意的,总存在,使得

时,最小值不大于-2

时,的最小值为,由

………………………………………12分

时,最小值为,由,得

时,的最小值为

,得,又

所以此时不存在.………………………………13分

综上,的取值范围是………………………14分

(Ⅲ)解法二:解法过程同上可求出f(x)的最小值为-2

对于任意的,总存在,使得

时,有解 ,即有解

所以当时,

(Ⅲ)解法三:解法过程同上可求出f(x)的最小值为-2

对于任意的,总存在,使得

时,有解.

综上,的取值范围是.

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