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    已知函数f(x)是在(0，+∞)上处处可导的函数，若xf′(x)＞f(x)在x＞0时恒成立．

    (1)求证：函数g(x)=在(0，+∞)上单调递增；

    (2)求证：当x1＞0，x2＞0时，f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)．

    答案：(1)g′(x)=.

    当x∈(0，+∞)时，∵xf′(x)＞f(x)，∴g′(x)＞0．

    因此，函数g(x)=在(0，+∞)上单调递增．

    (2)f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)

    =(x1+x2)

    =x1

    当x1＞0，x2＞0时，x1+x2＞x1，x1+x2＞x2，

    由(1)得，.

    ∴f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)＞0．

    ∴f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)．

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    已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处均可导的函数,若xf′(x)＞f(x)在x＞0时恒成立.?

    (1)求证:函数g(x)=在(0,+∞)上是增函数;

    (2)求证:当x1＞0,x2＞0时,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

    (3)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0时恒成立,求证:ln22+ln32+ln42+…+)2ln(n+1)2＞(n∈N*).

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    （Ⅲ）已知不等式ln（1+x)＜x在x＞-1且x≠0时恒成立，求证：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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