Question

已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处均可导的函数，若xf′(x)＞f(x)在x＞0时恒成立.

(Ⅰ)求证：函数g(x)=在(0,+∞)上是增函数；

(Ⅱ)求证：当x₁＞0,x₂＞0时，有f(x₁+x₂)＞f(x₁)+f(x₂);

(Ⅲ)求证：ln2²+ln3²+ln4²+…+ln(n+1)²＞(n∈N^*).

Answer 1

(Ⅰ)证明：∵g′(x)=,又xf′(x)＞f(x)在x＞0时恒成立，

∴g′(x)＞0,∴g(x)=在(0,+∞)上是增函数.

(Ⅱ)证明：当x₁＞0,x₂＞0时，有x₁+x₂＞x₁,x₁+x₂＞x₂,

    由（Ⅰ）得g(x₁+x₂)＞g(x₁),g(x₁+x₂)＞g(x₂),

    即：＞,＞.

∴x₁f(x₁+x₂)＞(x₁+x₂)f(x₁),

x₂f(x₁+x₂)＞(x₁+x₂)f(x₂),

∴(x₁+x₂)f(x₁+x₂)＞(x₁+x₂)(f(x₁)+f(x₂)),

∴f(x₁+x₂)＞f(x₁)+f(x₂).

(Ⅲ)用数学归纳法证明

(ⅰ)当n=1时，左==ln⁴,

    右==·，由于ln⁴＞1＞,

∴ln⁴＞·.即原不等式成立.

(ⅱ)假设n=k时，命题成立.即：

+++…+＞,

    那么：+++…+＞

2+

=

=·≥.

    这就是说，当n=k+1时，命题也成立.

    由(ⅰ)(ⅱ)可知，对一切n∈N^*,都有

+++…+＞成立.