Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n=

an-1

2an-1+1

（n≥2）．
（1）求a₂、a₃、a₄的值；
（2）猜测a_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由已知条件分别令n=1，2，3，能求出a₂、a₃、a₄的值．
（2）由（1）猜想a_n=

2

1+4(n-1)

．然后用数学归纳法进行证明．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=2，a_n=

an-1

2an-1+1

（n≥2），
∴a2=

2

2×2+1

=

2

5

，
a3=

2 5

2× 2 5 +1

=

2

9

，
a4=

2 9

2× 2 9 +1

=

2

13

．
（2）由（1）猜想a_n=

2

1+4(n-1)

．
下面用数学归纳法进行证明：
①当n=1时，a1=

2

1+4(1-1)

=2，成立；
②假设n=k时成立，即a_k=

2

1+4(k-1)

，
则当n=k+1时，
a_k+1=

ak

2ak+1

=

2 1+4(k-1)

2× 2 1+4(k-1) +1

=

2

1+4k

，也成立，
∴a_n=

2

1+4(n-1)

．

点评：本题考查数列的前4项的求法，考查数列的通项公式的猜想，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．