Question

10．求下列函数的导数：
（1）y=3x³-$\frac{1}{\sqrt{x}}$+lnc；
（2）y=x（1-cosx）lnx；
（3）y=$\frac{tanx}{x}$；
（4）y=$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}$．

Answer 1

分析 根据复合函数的求导法则和导数的运算法则求导即可．

解答 解：（1）y′=9x²+$\frac{1}{2}$•${x}^{-\frac{3}{2}}$=9x²+$\frac{\sqrt{x}}{2{x}^{2}}$
（2）y=x（1-cosx）lnx=xlnx-xlnxcosx，
∴y′=1+lnx-（xlnx）′cosx-xlnx（cosx）′=1+lnx-（1+lnx）cosx+xlnxsinx，
（3）y=$\frac{tanx}{x}$=$\frac{sinx}{cosx}$•$\frac{1}{x}$
∴y′=（$\frac{sinx}{cosx}$）′$\frac{1}{x}$+$\frac{sinx}{cosx}$（$\frac{1}{x}$）′=$\frac{co{s}^{2}x+si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$•$\frac{1}{x}$-$\frac{tanx}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{xco{s}^{2}x}$-$\frac{tanx}{{x}^{2}}$；
（4）y=$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}$．
∴y′=$\frac{1}{2}$（x+$\sqrt{x+\sqrt{x}}$）${\;}^{-\frac{1}{2}}$•（x+$\sqrt{x+\sqrt{x}}$）′=$\frac{1}{2}$（x+$\sqrt{x+\sqrt{x}}$）${\;}^{-\frac{1}{2}}$•[1+$\frac{1}{2}$（x+$\sqrt{x}$）${\;}^{-\frac{1}{2}}$•（x+$\sqrt{x}$）′]=$\frac{1}{2}$（x+$\sqrt{x+\sqrt{x}}$）${\;}^{-\frac{1}{2}}$•[1+$\frac{1}{2}$（x+$\sqrt{x}$）${\;}^{-\frac{1}{2}}$•（1+$\frac{1}{2}$x${\;}^{-\frac{1}{2}}$）]．

点评 本题考查了导数的运算法则和复合函数的求导法则，属于基础题．