Question

5．已知函数f（x）=5$\sqrt{3}$sinxcosx+5cos²x-$\frac{5}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）当$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$时，若f（x）=2，求函数f（x-$\frac{π}{12}$）的值．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$），易得周期和对称轴方程；
（2）由题意可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{5}$，可得cos（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{21}}{5}$，代入f（x-$\frac{π}{12}$）=5sin2x=sin[（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），计算可得．

解答 解：（1）化简可得f（x）=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{5}{2}$（2cos²x-1）
=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{5}{2}$cos2x=5sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
∴对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（2）当$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$时，f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）=2，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{5}$，∴cos（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{21}}{5}$，
∴f（x-$\frac{π}{12}$）=5sin2x=sin[（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{5}$-$\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{21}}{5}）$=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{21}}{10}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和对称轴以及和差角的三角函数公式，属中档题．