Question

在△ABC中，已知•=9，sinB=cosA•sinC，S_△ABC=6，P为线段AB上的点，且=x+y，则xy的最大值为

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC的值，再由•=9，S_△ABC=6可得bccosA=9，bcsinA=6可求得c，b，a，建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设 ，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），由 =x+y推出x与y的关系式，利用基本不等式求解最大值．
解答：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0
∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵•=9，S_△ABC=6
∴bccosA=9，bcsinA=6
∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15
∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）
设 ，则||=||=1，
=（1，0），=（0，1），
∴=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，
12=4x+3y≥，xy≤3
故所求的xy最大值为：3．
故选C．
点评：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最大值．