Question

过点P（1，4）引一条直线l，使它在两条坐标轴上的截距都是正数且它们的和最小，求直线l的方程．

Answer 1

分析：设直线方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），得

1

a

+

4

b

=1，进而得到l在两条坐标轴上的截距的和a+b=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

，最后利用基本不等式求最值，根据取等号的条件得出a、b之值，即可得出直线l的方程．

解答：解：设直线方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）
∵P（1，4）在直线l上，
∴

1

a

+

4

b

=1，
由此可得直线l在两条坐标轴上的截距的和满足
a+b=（a+b）（

1

a

+

4

b

）=5+

b

a

+

4a

b

∵a＞0，b＞0，得

b

a

+

4a

b

≥2

b a • 4a b

=4
∴当且仅当

b

a

=

4a

b

=2时，即a=3且b=6时，
直线l在两条坐标轴上的截距的和得最小值为5+4=9
此时直线方程为

x

3

+

y

6

=1，即2x+y-6=0
∴直线l的方程是2x+y-6=0．

点评：本题给出经过点P（1，4）且与两坐标轴交于正半轴的直线l，求l在两轴截距和最小时直线l的方程，着重考查了直线的基本量与基本形式和基本不等式等知识，属于中档题．