【题目】如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1 , D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(II)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
【答案】解:(I)交线围成的正方形EFGH如图:(II)作EM⊥AB,垂足为M,则:
EH=EF=BC=10,EM=AA1=8;
∴ ,∴AH=10;
以边DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
则:A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8);
∴ ;
设 为平面EFGH的法向量,则:
,取z=3,则
;
若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ,则:
sinθ= =
;
∴直线AF与平面α所成角的正弦值为
【解析】(I)容易知道所围成正方形的边长为10,再结合长方体各边的长度,即可找出正方形的位置,从而画出这个正方形;(II)分别以直线DA,DC,DD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,考虑用空间向量解决本问,能够确定A,H,E,F几点的坐标.设平面EFGH的法向量为 ,根据
即可求出法向量
,
坐标可以求出,可设直线AF与平面EFGH所成角为θ,由sinθ=
即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识,掌握已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
.
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【题目】(本小题满分16分)已知数列(
,
)满足
,
其中
,
.
(1)当时,求
关于
的表达式,并求
的取值范围;
(2)设集合.
①若,
,求证:
;
②是否存在实数,
,使
,
,
都属于
?若存在,请求出实数
,
;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,D,E分别是BC,AB的中点,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB≠AC,AC>AD,PC与DE所成的角为α,PD与平面ABC所成的角为β,二面角P﹣BC﹣A的平面角为γ,则α,β,γ的大小关系是( )
A.α<β<γ
B.α<γ<β
C.β<α<γ
D.γ<β<α
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【题目】已知: 、
、
是同一平面内的三个向量,其中
=(1,2)
(1)若| |=2
,且
∥
,求
的坐标;
(2)若| |=
,且
+2
与2
﹣
垂直,求
与
的夹角θ.
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【题目】已知x0 , x0+ 是函数f(x)=cos2(wx﹣
)﹣sin2wx(ω>0)的两个相邻的零点
(1)求 的值;
(2)若对 ,都有|f(x)﹣m|≤1,求实数m的取值范围.
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【题目】在三棱锥P﹣ABC中,D为AB的中点.
(1)与BC平行的平面PDE交AC于点E,判断点E在AC上的位置并说明理由如下:
(2)若PA=PB,且△PCD为锐角三角形,又平面PCD⊥平面ABC,求证:AB⊥PC.
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【题目】如图,A,B,C是椭圆M:上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,BC过椭圆M的中心,且满足AC⊥BC,BC=2AC。
(1)求椭圆的离心率;
(2)若y轴被△ABC的外接圆所截得弦长为9,求椭圆方程。
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【题目】某市教育部门拟从18名高中数学教师中选拔2人参加省教师技能大赛.为缩短比赛时间,将这18名教师随机分成,
两组,其选拔赛成绩的茎叶图如图所示.该教育部门先将成绩不低于85分的教师初选出来进行培训后,再从中选拔2人参加省教师技能大赛.
(Ⅰ)若仅从初选选手中随机抽选2人参加省赛,并记抽选的2人中来自组的人数为
,试求
的分布列和期望值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若参加省赛的2人是同性的概率等于,求初选出来参加培训的男教师和女教师的人数.
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