Question

任给实数a，b定义a⊕b=

ab，ab≥0 a b ，ab＜0

，设函数f（x）=lnx⊕x，若{a_n}是公比大于0的等比数列，且a₄=1，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₆）=2a₁，则a₁=

e²

．

Answer 1

分析：先由所给定义表示出f（x），然后设该数列的前6项分别为

1

q3

，

1

q2

，

1

q

，1，q，q²，分q＞1，0＜q＜1两种情况讨论，可表示出f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₆），然后解方程即可求得答案．

解答：解：∵a⊕b=

ab，ab≥0 a b ，ab＜0

，∴f（x）=lnx⊕x=

xlnx，x≥1 lnx x ，0＜x＜1

，
∵{a_n}是公比大于0的等比数列，且a₄=1，
故可设该数列的前6项分别为

1

q3

，

1

q2

，

1

q

，1，q，q²，
当q＞1时，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₆）=q3ln

1

q3

+q2ln

1

q2

+qln

1

q

+0+qlnq+q²lnq²=q3ln

1

q3

＜0，
而2a1=

2

q3

＞0，故 f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₆）=2a₁不成立；
当0＜q＜1时，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₆）=

1

q3

ln

1

q3

+

1

q2

ln

1

q2

+

1

q

ln

1

q

+0+

lnq

q

+

lnq2

q2

=

1

q3

ln

1

q3

，
由f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₆）=2a₁，得

1

q3

ln

1

q3

=

2

q3

，∴

1

q3

=e²，
故a₁=e²，
故答案为：e²

点评：本题考查新定义，涉及函数的求值以及数列的求和，考查分类讨论思想，属中档题．