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    已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=
    f(x)
    x
    在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=
    f(x)
    x2
    在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．
    （Ⅰ）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围；
    （Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，
    x a b c a+b+c
    f（x） d d t 4
    求证：d（2d+t-4）＞0；
    （Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．
    分析：（I）根据f（x）为“一阶比增函数”不是“二阶比增函数”．可得g（x）=
    f(x)
    x
    =x2-2hx-h，在（0，+∞）是增函数，且h（x）=
    f(x)
    x2
    =x-2h-
    h
    x
    在（0，+∞）不是增函数，根据二次函数的图象和性质及导数法，可求出实数h的取值范围；
    （Ⅱ）根据f（x）为“一阶比增函数”，且0＜a＜b＜c，结合表中数据可得f（a）=d＜
    4a
    a+b+c
    ，f（b）=d＜
    4b
    a+b+c
    ，f（c）=t＜
    4c
    a+b+c
    ，根据不等式的性质可证得d（2d+t-4）＞0；
    （Ⅲ）根据f（x）为“二阶比增函数”，我们先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立，再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解，综合两个证明结果，可得答案．
    解答：解：（I）因为f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，
    即g（x）=
    f(x)
    x
    =x2-2hx-h，在（0，+∞）是增函数，所以h≤0  …（2分）
    而h（x）=
    f(x)
    x2
    =x-2h-
    h
    x
    在（0，+∞）不是增函数，
    又∵h′（x）=1+
    h
    x2
    ，且
    当h（x）是增函数时，有h≥0，所以当h（x）不是增函数时，h＜0
    综上，得h＜0                          …（4分）
    证明：（Ⅱ） 因为f（x）∈Ω1，且0＜a＜b＜c＜a+b+c，
    所以
    f(a)
    a
    ＜
    f(a+b+c)
    a+b+c
    =
    4
    a+b+c
    ，所以f（a）=d＜
    4a
    a+b+c
    ，
    同理可证f（b）=d＜
    4b
    a+b+c
    ，f（c）=t＜
    4c
    a+b+c

    三式相加得f（a）+f（b）+f（c）=2d+t＜
    4(a+b+c)
    a+b+c
    =4
    所以2d+t-4＜0                        …（6分）
    因为
    d
    a
    ＜
    d
    b
    ，所以d（
    b-a
    ab
    ）＜0
    而0＜a＜b，所以d＜0
    所以d（2d+t-4）＞0                                …（8分）
    （Ⅲ） 因为集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，
    所以?f（x）∈Φ，存在常数k，使得 f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立
    我们先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立
    假设?x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0，
    记
    f(x0)
    x02
    =m＞0
    因为f（x）是二阶比增函数，即
    f(x)
    x2
    是增函数．
    所以当x＞x0时，
    f(x)
    x2
    ＞
    f(x0)
    x02
    =m，所以f（x）＞mx2
    所以一定可以找到一个x1＞x0，使得f（x1）＞mx12＞k
    这与f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立矛盾                 …（11分）
    即f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立
    所以?f（x）∈Φ，f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立
    下面我们证明f（x）=0在（0，+∞）上无解
    假设存在x2＞0，使得f（x2）=0，
    则因为f（x）是二阶增函数，即
    f(x)
    x2
    是增函数
    一定存在x3＞x2＞0，使
    f(x3)
    x32
    ＞
    f(x2)
    x22
    =0，这与上面证明的结果矛盾
    所以f（x）=0在（0，+∞）上无解
    综上，我们得到?f（x）∈Φ，f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立
    所以存在常数M≥0，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立
    又令f（x）=-
    1
    x
    （x＞0），则f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
    又有
    f(x)
    x2
    =
    -1
    x3
    在（0，+∞）上是增函数，所以f（x）∈Φ，
    而任取常数k＜0，总可以找到一个xn＞0，使得x＞xn时，有有f（x）＞k
    所以M的最小值 为0       …（16分）
    点评：本题考查的知识点是函数的单调性，导数的几何意义，全称命题，熟练掌握导数法在确定函数单调性和最值时的答题步骤是解答的关键．本题难度较大，运算量繁杂．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=log3
    		3
    x
    1-x
    ，M(x1，y1)，N(x2，y2)    是f（x）图象上的两点，横坐标为
    1
    2
    的点P满足2
    OP
    =
    OM
    +
    ON
    （O为坐标原点）．
    （Ⅰ）求证：y1+y2为定值；
    （Ⅱ）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
    （Ⅲ）已知an=
    1
    6
    ，                          n=1
    1
    4(Sn+1)(Sn+1+1)
    ，n≥2
    ，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列说法正确的有（　　）个．
    ①已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
    ②函数f（x）图象在点P处的切线存在，则函数f（x）在点P处的导数存在；反之若函数f（x）在点P处的导数存在，则函数f（x）图象在点P处的切线存在．
    ③因为3＞2，所以3+i＞2+i，其中i为虚数单位．
    ④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和In=
    n
    i=1
    f(ξi)△x    中ξi的选取是任意的，且In仅于n有关．
    ⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=sin（2x-
    π
    6
    ），g（x）=sin（2x+
    π
    3
    ），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （Ⅰ）已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C．
    （i）求函数f（x）的单调区间；
    （ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1，S2．则
    S1S2
    为定值；
    （Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x3-ax+b存在极值点．
    （1）求a的取值范围；
    （2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f（x）的切线，所作切线恰有两条，切点分别为A、B．
    （ⅰ）证明：a=b；
    （ⅱ）请问△PAB的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围．

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