Question

已知函数f（x）=log₃

3 x

1-x

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为

1

2

的点P满足2

OP

=

OM

+

ON

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y₁+y₂为定值；
（Ⅱ）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=

1 6 ，                          n=1 1 4(Sn+1)(Sn+1+1) ，n≥2

，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先用

OM

，

ON

表示出

OP

，再由P是MN的中点可得到x₁+x₂=1，然后代入到y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）结合对数的运算法则即可得到y₁+y₂=1，得证．
（2）先由（Ⅰ）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=1，然后对Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)进行倒叙相加即可得到2Sn=[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+[(

2

n

)+f(

n-2

n

)]++[f(

n-1

n

)+f(

1

n

)]，再结合x₁+x₂=1时，y₁+y₂=1可得到Sn=

n-1

2

．
（3）将（2）中的Sn=

n-1

2

．代入到a_n的表达式中进行整理当n≥2时满足an=

1

n+1

-

1

n+2

．，然后验证当n=1时满足，再代入到T_n中进行求值，当T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立时可转化为m＞

Tn

Sn+1+1

=

n

(n+2)2

=

1

n+ 4 n +4

恒成立，再由均值不等式可求出m的范围．

解答：解：（1）由已知可得，

OP

=

1

2

(

OM

+

ON

)，
∴P是MN的中点，有x₁+x₂=1．
∴y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）
=log3

3 x1

1-x1

+log3

3 x2

1-x2

=log3(

3 x1

1-x1

•

3 x2

1-x2

)
=log3

3x1x2

(1-x1)(1-x2)

=log3

3x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=log3

3x1x2

1-1+x1x2

=1．
（2）解：由（Ⅰ）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₁）=1
Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)，
Sn=f(

n-1

n

)++f(

2

n

)+f(

1

n

)，
相加得
2Sn=[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+[(

2

n

)+f(

n-2

n

)]++[f(

n-1

n

)+f(

1

n

)]
=

1+1++1

(n-1)个1

=n-1
∴Sn=

n-1

2

．
（3）解：当n≥2时，
an=

1

4(Sn+1)(Sn+1+1)

=

1

4× n+1 2 • n+2 2

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．
又当n=1时，
a1=

1

6

=

1

2

-

1

3

．
∴an=

1

n+1

-

1

n+2

．
Tn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

n

2(n+2)

．
由于T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，
m＞

Tn

Sn+1+1

=

n

(n+2)2

=

1

n+ 4 n +4

∵n+

4

n

≥4，当且仅当n=2时，取“=”，
∴

1

n+ 4 n +4

≤

1

4+4

=

1

8

因此m＞

1

8

．
综上可知，m的取值范围是(

1

8

，+∞)．

点评：本题主要考查数列求和的倒叙相加法、数列的裂项法和均值不等式的应用．考查对基础知识的综合运用．