Question

某县位于沙漠边缘地带，人与自然长期进行顽强的斗争，到1999年底全县的绿化率已达到30%，从1999年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%被栽上树，改造成绿洲，而同时原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠.

（1）设全县面积为1，1999年底绿洲面积a₁=，经过一年（指2000年底）绿洲面积为a₂，经过n年绿洲面积为a_n+1，求证：a_n+1=a_n+.

（2）问至少经过多少年的努力才能使全县绿洲面积超过60%？

   

Answer 1

解：(1)设1999年底绿洲面积为b₁，经过n年绿洲面积为b_n+1，则a₁+b₁=1且a_n+b_n=1.

因为绿洲面积a_n+1由两部分组成，一部分是原有绿洲面积a_n减去被侵蚀掉的面积a_n-a_n= a_n；另一部分是新绿洲面积b_n，所以a_n+1=a_n+b_n=a_n+(1-a_n)，即a_n+1=a_n+.

     (2)∵a_n+1-= (a_n-)，

    ∴{a_n-}是公比为的等比数列.

    ∴a_n-=(a₁-)×()^n-1=-×()^n-1.∴a_n=-×()^n-1.

    令a_n≤60%＜a_n+1，即-×()^n-1≤＜-×()ⁿ，

    得()ⁿ＜≤()^n-1，

    两边取对数，得nlg＜lg≤(n-1)lg，

    则＜n≤+1，=≈4.1.

    ∴4.1＜n≤5.1.

    答：约经过五年的努力，绿洲面积可超过60%.