某县位于沙漠边缘地带,人与自然长期进行顽强的斗争,到1999年底全县的绿化率已达到30%,从1999年开始,每年将出现这样的局面:原有沙漠面积的16%被栽上树,改造成绿洲,而同时原有绿洲面积的4%又被侵蚀,变为沙漠.
(1)设全县面积为1,1999年底绿洲面积a1=,经过一年(指2000年底)绿洲面积为a2,经过n年绿洲面积为an+1,求证:an+1=an+.
(2)问至少经过多少年的努力才能使全县绿洲面积超过60%?
答:约经过五年的努力,绿洲面积可超过60%. 解:(1)设1999年底绿洲面积为b1,经过n年绿洲面积为bn+1,则a1+b1=1且an+bn=1. 因为绿洲面积an+1由两部分组成,一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀掉的面积an-an=an;另一部分是新绿洲面积bn,所以an+1=an+bn=an+(1-an),即an+1=an+. (2)∵an+1-=(an-), ∴{an-}是公比为的等比数列. ∴an-=(a1-)×()n-1=-×()n-1.∴an=-×()n-1. 令an≤60%<an+1,即-×()n-1≤<-×()n, 得()n<≤()n-1, 两边取对数,得nlg<lg≤(n-1)lg, 则<n≤+1,=≈4.1. ∴4.1<n≤5.1. |
科目:高中数学 来源:设计必修五数学北师版 北师版 题型:044
某县位于沙漠边缘地带,人与自然长期进行顽强的斗争,到1999年底全县的绿化率已达到30%,从1999年开始,每年将出现这样的局面:原有沙漠面积的16%被栽上树,改造成绿洲,而同时原有绿洲面积的4%又被侵蚀,变为沙漠.
(1)设全县面积为1,1999年底绿洲面积a1=,经过一年(指2000年底)绿洲面积为a2,经过n年绿洲面积为an+1,求证:an+1=an+.
(2)问至少经过多少年的努力才能使全县绿洲面积超过60%?
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某县位于沙漠边缘地带,人与自然长期进行顽强的斗争,到1999年底全县的绿化率已达到30%,从1999年开始,每年将出现这样的局面:原有沙漠面积的16%被栽上树,改造成绿洲,而同时原有绿洲面积的4%又被侵蚀,变为沙漠.
(1)设全县面积为1,1999年底绿洲面积a1=,经过一年(指2000年底)绿洲面积为a2,经过n年绿洲面积为an+1,求证:an+1=an+;
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(1)设全县面积为1,1999年底绿洲面积a1=,经过一年(指2000年底)绿洲面积为a2,经过n年绿洲面积为an+1,求证:an+1=an+;
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