Question

18．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）设l与C₁相交于A，B两点，求|AB|；
（2）若把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标压缩为原来的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）分别求出曲线C₁和直线l的普通方程，把直线l代入曲线C₁，得2x²-2x-3=0，由此能求出|AB|．
（2）求出C₂的参数方程C₂：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=cosθ}\\{{y}^{'}=\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），从而点P的坐标是$（cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，由此能求出动点P到直线l的距离的最大值．

解答 解：（1）∵曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴消去参数，得曲线C₁的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$消去参数t，得y=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得2x²-2x-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=1，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{3}{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）（1+4×\frac{3}{2}）}$=$\frac{\sqrt{35}}{2}$．
（2）∵把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标压缩为原来的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$得到曲线C₂，
∴C₂的参数方程C₂：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=cosθ}\\{{y}^{'}=\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），
∵点P是曲线C₂上的一个动点，∴点P的坐标是$（cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，
从而点P到直线l的距离是$d=\frac{1}{{\sqrt{5}}}|{\sqrt{3}sinθ-cosθ+1}|=\frac{1}{{\sqrt{5}}}|{2sin（θ-\frac{π}{6}）+1}|$，
由此当$sin（θ-\frac{π}{6}）=1$时，d取得最大值${d_{max}}=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查弦长的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意弦长公式和点到直线的距离公式的合理运用．