Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴上，点A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）C（x₃，y₃）在抛物线上，若△ABC的重心恰为抛物线的焦点F，且|FA|+|FB|+|FC|=6，则抛物线的方程为

x²=4y

．

Answer 1

分析：根据△ABC的重心恰为抛物线的焦点F，则可知y₁+y₂+y₃=

3p

2

，再根据抛物线定义可分别表示出|FA|，|FB|和|FC|，进而根据|FA|+|FB|+|FC|=6，求得p，则抛物线方程可得．

解答：解：设抛物线的方程为x²=2py，（p＞0）．
由△ABC的重心恰为抛物线的焦点F（0，

p

2

），得y₁+y₂+y₃=3×

p

2

，
根据抛物线的定义可得，|FA|=y₁+

p

2

，|FB|=y₂+

p

2

，|FC|=y₃+

p

2

，
又|FA|+|FB|+|FC|=6，
∴y₁+y₂+y₃+

3p

2

=6，即2×

3p

2

=6
∴p=2，
∴抛物线方程为x²=4y．
故答案为：x²=4y．

点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用．涉及了三角形的重心，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．