Question

方程x³-3x+a+1=0在x∈[-2，+∞）上有三个不同的实根，则实数a的取值范围为

 

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Answer 1

分析：首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，再分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程在x∈[-2，+∞）上有三个不同的实根，求得实数a的值．

解答：
解：f（x）=x³-3x+a+1，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当x∈（-∞，-1），f'（x）＞0；
x∈（-1，1），f'（x）＜0；
x∈（1，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=-1取极大值3+a，在x=1时取极小值a-1．
根据f（x）的大致图象的变化情况，有三个不同的实数解时，

f(-1)＞0 f(1)＜0 f(-2)＜0

解得a的取值范围是-3＜a＜1．
故答案为：-3＜a＜1．

点评：考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属中档题．