Question

关于x的方程x³+|3x-a|-2=0在（0，2）上有两个不同的解，则实数a的范围为

（2，4）

．

Answer 1

分析：将方程x³+|3x-a|-2=0恰有两个不同的实根，转化为一个函数y=x³-2的图象与折线y=-|3x-a|的位置关系研究．

解答：解：方程x³+|3x-a|-2=0化为：
方程x³-2=-|3x-a|，
令 y=x³-2，y=-|3x-a|，
y=-|3x-a|表示过斜率为过点（

a

3

，0）的折线直线系，分别画出它们的图象，如图．
①折线中的直线y=3x-a过曲线y=x³-2与y轴的交点A（0，-2）时有a=2，
②折线中的直线y=3x-a与曲线y=x³-2相切时，设切点B（m，n），（m＞0）．
由于y′=3x²，则切线的斜率k=3m²，
且3m²=3，⇒m=1，
得切点坐标B（1，-1），代入折线y=3x-a得：a=4，
结合图象得，若关于x的方程x³+|3x-a|-2=0在（0，2）上有两个不同的解，则实数a的范围为 （2，4）
故答案为：（2，4）．

点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断，解答关键是利用直线与曲线的位置关系，要注意导数工具的应用和转化思想的应用．