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已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根分别为一个椭圆,一个抛物线,一个双曲线的离心率,则
b
a
的取值范围
-2<
b
a
<-
1
2
-2<
b
a
<-
1
2
分析:令f(x)=x3+ax2+bx+c,把x=1,y=0代入函数解析式求得a+b+c的值,进而可得f(x)=(x-1)(x2+x+1)+a(x+1)(x-1)+b(x-1)的形式,设g(x)=x2+(a+1)x+1+a+b椭圆和双曲线的离心率的范围确定两根的范围确定g(0)>0,g(1)<0,最后利用线性规划求得
b
a
的取值范围.
解答:解:令f(x)=x3+ax2+bx+c
∵抛物线的离心率为1,∴1是方程f(x)=x3+ax2+bx+c=0的一个实根
∴a+b+c=-1
∴c=-1-a-b代入f(x)=x3+ax2+bx+c,
可得f(x)=x3+ax2+bx-1-a-b=(x-1)(x2+x+1)+a(x+1)(x-1)+b(x-1)=(x-1)[x2+(a+1)x+1+a+b]
设g(x)=x2+(a+1)x+1+a+b,则g(x)=0的两根满足0<x1<1,x2>1
∴g(0)=1+a+b>0,g(1)=3+2a+b<0
作出可行域,如图所示
b
a
的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率,
-2<
b
a
<-
1
2

故答案为:-2<
b
a
<-
1
2
点评:本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系,简单线性规划,考查计算能力.
练习册系列答案
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1
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1
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a
3
4
a
3
4

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(2011•宁波模拟)已知关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是
a<
3
4
a<
3
4

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b-1a+1
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已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根分别为一个椭圆,一个抛物线,一个双曲线的离心率,则的取值范围   

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